Question

18．已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点M，点P是BD上任意一点，若|$\overrightarrow{AD}$|=2，|$\overrightarrow{AB}$|=1，且∠BAD=60°，则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{CM}$的取值范围是（　　）

• A． [1，$\frac{7}{4}$]
• B． [-$\frac{5}{2}$，-1]
• C． [0，$\sqrt{2}$]
• D． [-1，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 由P是BD上任意一点，可得：$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+（1-x）$\overrightarrow{AD}$，x∈[0，1]，再由$\overrightarrow{CM}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=$-\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$$-\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，可得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{CM}$的表达式，进而得到$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{CM}$的取值范围．

解答 解：∵P是BD上任意一点，
∴$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+（1-x）$\overrightarrow{AD}$，x∈[0，1]，
$\overrightarrow{CM}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=$-\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$$-\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，
∵|$\overrightarrow{AD}$|=2，|$\overrightarrow{AB}$|=1，且∠BAD=60°，
∴$\overrightarrow{AD}$²=4，$\overrightarrow{AB}$²=1，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=1，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{CM}$=[x$\overrightarrow{AB}$+（1-x）$\overrightarrow{AD}$]•（$-\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$$-\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$）
=$-\frac{x}{2}$$\overrightarrow{AB}$²-$\frac{1-x}{2}$$\overrightarrow{AD}$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{3}{2}$x-$\frac{5}{2}$∈[-$\frac{5}{2}$，-1]，
故选：B

点评 本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，一次函数的图象和性质，难度中档．