Question

10．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）（0≤x＜π），且f（α）=f（β）=$\frac{1}{3}$（α≠β），则α+β=$\frac{7π}{6}$．

Answer 1

分析 解法一：不妨假设α＜β，由题意可得α+β∈（$\frac{13π}{12}$，$\frac{5π}{4}$），再利用f（α）=f（β）=$\frac{1}{3}$（α≠β），以及和差化积公式求得cos（α+β+$\frac{π}{3}$）=0，求得$α+β+\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$，从而求得α+β的值．
解法二：利用正弦函数的图象的对称性可得2α+$\frac{π}{3}$+2β+$\frac{π}{3}$=2•$\frac{3π}{2}$，由此求得α+β的值．

解答 解：解法一：∵函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）（0≤x＜π），∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$）．
∵f（α）=sin（2α+$\frac{π}{3}$）=f（β）=sin（2β+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$∈（0，$\frac{1}{2}$），（α≠β），不妨假设α＜β，
则 2α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{5π}{6}$，π），2β+$\frac{π}{3}$∈（2π，$\frac{13π}{6}$），
∴α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}$），β+$\frac{π}{6}$∈（π，$\frac{13π}{12}$），
∴α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$），β∈（$\frac{5π}{6}$，$\frac{11π}{12}$），∴α+β∈（$\frac{13π}{12}$，$\frac{5π}{4}$）．
再根据 sin（2α+$\frac{π}{3}$）-sin（2β+$\frac{π}{3}$）=2cos$\frac{2α+2β+\frac{2π}{3}}{2}$sin$\frac{2α-2β}{2}$=2cos（α+β+$\frac{π}{3}$）sin（α-β）=0，
∴cos（α+β+$\frac{π}{3}$）=0，∴$α+β+\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，或$α+β+\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$，
则α+β=$\frac{π}{6}$（舍去）或α+β=$\frac{7π}{6}$，
故答案为：$\frac{7π}{6}$．
解法二：∵函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）（0≤x＜π），∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$）．
∵f（α）=f（β）=$\frac{1}{3}$（α≠β），则由正弦函数的图象的对称性可得 2α+$\frac{π}{3}$+2β+$\frac{π}{3}$=2•$\frac{3π}{2}$，即 α+β=$\frac{7π}{6}$，
故答案为：$\frac{7π}{6}$．

点评 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，和差化积公式，根据三角函数的值求角，属于中档题．