Question

15．已知△ABC的三个顶点A（-1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圆H．
（1）求圆H的方程；
（2）若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程．
（3）对于线段BH上的任意一旦P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出圆心坐标与半径，即可求出圆H的方程；
（2）根据直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，设出直线方程，利用勾股定理，即可求直线l的方程；
（3）设P的坐标，可得M的坐标，代入圆的方程，可得以（3，2）为圆心，r为半径的圆与以（6-m，4-n）为圆心，2r为半径的圆有公共点，由此求得⊙C的半径r的取值范围．

解答 解：（1）由题意，A（-1，0），B（1，0），C（3，2），∴AB的垂直平分线是x=0，
∵BC：y=x-1，BC中点是（2，1），
∴BC的垂直平分线是y=-x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，得到圆心是（0，3），∴r=$\sqrt{10}$，
∴圆H的方程是x²+（y-3）²=10；
（2）∵弦长为2，∴圆心到l的距离d=3．
设l：y=k（x-3）+2，则d=$\frac{|-3-3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，∴k=$\frac{4}{3}$，∴l的方程y=$\frac{4}{3}$x-2；
当直线的斜率不存在时，x=3，也满足题意．
综上，直线l的方程是x=3或y=$\frac{4}{3}$x-2；
（3）直线BH的方程为3x+y-3=0，设P（m，n）（0≤m≤1），N（x，y）．
因为点M是点P，N的中点，所以M（$\frac{m+x}{2}$，$\frac{n+y}{2}$），
又M，N都在半径为r的圆C上，所以$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+（y-2）^{2}={r}^{2}}\\{（\frac{m+x}{2}-3）^{2}+（\frac{n+y}{2}-2）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+（y-2）^{2}={r}^{2}}\\{（x+m-6）^{2}+（y+n-4）^{2}=4{r}^{2}}\end{array}\right.$，
因为该关于x，y的方程组有解，
即以（3，2）为圆心，r为半径的圆与以（6-m，4-n）为圆心，2r为半径的圆有公共点，
所以（2r-r）²≤（3-6+m）²+（2-4+n）²≤（r+2r）²，
又3m+n-3=0，
所以r²≤10m²-12m+10≤9r²对任意m∈[0，1]成立．
而f（m）=10m²-12m+10在[0，1]上的值域为[$\frac{32}{5}$，10]，
又线段BH与圆C无公共点，所以（m-3）²+（3-3m-2）²＞r²对任意m∈[0，1]成立，即r²＜$\frac{32}{5}$．
故圆C的半径r的取值范围为[$\frac{\sqrt{10}}{3}$，$\frac{4\sqrt{10}}{5}$）．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，有难度．