Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1 ． 求证：

（1）直线DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵D，E分别为AB，BC的中点，

∴DE为△ABC的中位线，

∴DE∥AC，

∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，

∴AC∥A1C1，

∴DE∥A1C1，

∵A1C1平面A1C1F，且DE平面A1C1F，

∴DE∥A1C1F

（2）解：∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，

∴AA1⊥平面A1B1C1，

∴AA1⊥A1C1，

又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1平面AA1B1B，

∴A1C1⊥平面AA1B1B，

∵DE∥A1C1，

∴DE⊥平面AA1B1B，

又∵A1F平面AA1B1B，

∴DE⊥A1F，

又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D平面B1DE，

∴A1F⊥平面B1DE，

又∵A1F平面A1C1F，

∴平面B1DE⊥平面A1C1F

【解析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1 ， 据此可得直线DE∥平面A1C1F1；（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．
【考点精析】利用直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．