Question

1．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁-AC-B是直二面角，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且∠ABC=90°，O为AC的中点．
（Ⅰ）若E是BC₁的中点，求证：OE∥平面A₁AB；
（Ⅱ）求二面角A-A₁B-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （I）连接AB₁，B₁C，B₁C∩BC₁=E．利用三角形中位线定理可得：OE∥AB₁，再利用线面平行的判定定理即可证明OE∥平面A₁AB；
（II）通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量的夹角即可得出二面角的平面角

解答 解析：（Ⅰ）证明：连接B₁C和AB₁，则E也是B₁C的中点．
∵O为AC的中点，∴OE∥AB₁，
又OE?平面A₁AB，AB₁?平面A₁AB，
∴OE∥平面A₁AB．
（Ⅱ）连接A₁O和OB．
∵AA₁=A₁C=AC=2，∴OA₁⊥AC．
∵A₁-AC-B是直二面角，∴A₁O⊥平面ABC．
∵AB=BC，O为AC的中点，∴OB⊥AC，
∴OA₁，OB，OC两两垂直，如图以O为坐标原点，
以O为原点，以OB，OC，OA₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则A（0，-1，0），A₁（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，0，0），C₁（0，2，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（0，2，0）．
设平面AA₁B的一个法向量为$\overrightarrow u=（x\;，\;y\;，\;z）$，则$\overrightarrow{A{A_1}}⊥\overrightarrow{{u_{\;}}}\;，\;\overrightarrow{{A_1}B}⊥\overrightarrow u$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{y+\sqrt{3}z=0}\\{x-\sqrt{3}z=0}\end{array}}\right.$，令z=1，得$x=\sqrt{3}\;，\;y=-\sqrt{3}$，则$\overrightarrow u=（\sqrt{3}\;，\;-\sqrt{3}\;，\;1）$．
同理，可求的平面A₁BC₁的一个法向量为$\overrightarrow v=（\sqrt{3}\;，\;0\;，\;1）$．
∴$cos＜\overrightarrow u\;，\;\overrightarrow v＞=\frac{\overrightarrow u•\overrightarrow v}{|\overrightarrow u||\overrightarrow v|}=\frac{3+1}{{\sqrt{7}×2}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
结合图形可知，二面角A-A₁B-C₁的平面角是钝角，
∴二面角A-A₁B-C₁的余弦值为$-\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．

点评 本题考查了线面面面平行的判定与性质定理、三角形中位线定理、等边三角形与等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．