Question

6．已知f（x）=（x-2）e^x+ax²+x，a∈R．
（1）当$a=-\frac{1}{2}$时，求f（x）的单调区间；
（2）当x≤0时，f（x）≤-2总成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a的范围即可．

解答 解：（1）a=-$\frac{1}{2}$时，f（x）=（x-2）e^x-$\frac{1}{2}$x²+x，
f′（x）=（x-1）（e^x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，0）递增，在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）f′（x）=（x-1）e^x+2ax+1，f″（x）=xe^x+2a，
①a≤0时，f″（x）≤0，f′（x）在（-∞，0]递减，
∴f′（x）≥f′（0）=0，f（x）在（-∞，0]递增，
∴f（x）≤f（0）=-2，成立，
②（i）a＞0时，f′″（x）=（x+1）e^x，
∴f″（x）在（-∞，-1）递减，在（-1，0]递增，
∴f″（x）min=f″（-1）=-$\frac{1}{e}$+2a，
（ii）a≥$\frac{1}{2e}$时，f″（x）＞0，f′（x）在（-∞，0）递增，
∴f′（x）＜f′（0）=0，f（x）在（-∞，0]递减，
∴f（x）_min=f（0）=-2，f（x）≥-2，不合题意，
（iii）由（ii）得：
0＜a＜$\frac{1}{2e}$时，?x₁，x₂∈（-∞，0]，
使得f（x）在（-∞，x₁）递增，在（x₁，x₂）递减，在（x₂，0]递增，
有f（x₁）＞-2，不合题意，
综上，a≤0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．