Question

18．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x$
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在$△ABC中，f（A）=1，\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=4，BC=2\sqrt{3}$，求边AB，AC．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，然后求出函数单调区间．
（2）利用（1）中的函数关系式求得A=$\frac{π}{3}$，再由余弦定理可求出AB的值．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$⇒kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z）．
所以函$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x$的单调递增区间：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）因为f（A）=1，
所以sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=1，
所以sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
所以2A+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或，2A+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
所以A=kπ或A=kπ+$\frac{π}{3}$．
因为在三角形ABC中，所以A=$\frac{π}{3}$．
由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4得到：|AB|•|AC|cosA=4．即|AB|•|AC|cos$\frac{π}{3}$=4．
故|AB|•|AC|=8①
又由余弦定理得到：BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos$\frac{π}{3}$，即（2$\sqrt{3}$）²=AB²+AC²-8，
故AB²+AC²=20．②
联立①②解得AB=2，AC=4或AB=4，AC=2．

点评 此题考查了正弦函数的图象，三角函数中的恒等变换应用，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，余弦定理，以及诱导公式的运用，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．