Question

8．设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13，
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和．
（Ⅲ）求{a_nb_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是各项都为正数，公比为q的等比数列，运用等比数列和等差数列的通项公式，解方程可得d和q，进而得到所求通项公式；
（Ⅱ）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和；
（Ⅲ）a_nb_n=（2n-1）•2^n-1，运用数列的求和方法：错位相减法求和，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）设{a_n}是公差为d的等差数列，
{b_n}是各项都为正数，公比为q的等比数列，
则a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13，即为1+2d+q⁴=21，
1+4d+q²=13，
解得d=q=2，
可得a_n=a₁+（n-1）d=2n-1；b_n=b₁q^n-1=2^n-1；
（Ⅱ）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
则{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$；
（Ⅲ）a_nb_n=（2n-1）•2^n-1，
{a_nb_n}的前n项和为S_n=1•1+3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1，
2S_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
相减可得，-S_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ
=1+2•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ
化简可得，S_n=3-（3-2n）•2ⁿ．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和和错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．