Question

13．有一圆心角为60°半径为1的扇形铁板．工人师傅要裁出一个面积最大的矩形，下列两种裁法哪一种更好，说明理由．

Answer 1

分析 乙方案根据构造辅助线，∠POG=θ，分别表示出EG和HG，根据矩形的面积公式求得S的表达式，根据三角恒等变换及正弦函数最值，即可求得S的最大值，对甲方案，构造辅助线，∠QOB=θ，表示出AB，根据正弦定理求得BC，根据矩形面积公式及正弦函数的最值，即可求得面积S，比较大小即可求得结果．

解答 解：如图乙方案：设∠POG=θ，则FG=Rsinθ，
在△OEF中，HG=$\frac{2Rsin（60°-θ）}{\sqrt{3}}$，
又设矩形EFGH的面积为S，那么S=FG•HG=$\frac{2{R}^{2}sin（60°-θ）sinθ}{\sqrt{3}}$=$\frac{{R}^{2}}{\sqrt{3}}$•[cos（2θ-60°）-$\frac{1}{2}$]，
又∵0°＜θ＜60°，故当cos（2θ-60°）=1，
即θ=30°时，S取最大$\frac{\sqrt{3}}{6}$R²；
如图甲方案，设∠QOB=θ，则AB=2Rsin（30°-θ），在△OFG中，∠OCB=150°，
$\frac{BC}{sinθ}$=$\frac{R}{sin150°}$，即BC=2Rsinθ
设矩形的面积为S．
那么S_EFFG=4R²sinθsin（30°-θ）
=2R²[cos（2θ-30°）-cos30°]=2R²[cos（2θ-30°）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
又∵0＜θ＜30°，故当cos（2θ-30°）=1即θ=15°时，S取最大R²（2-$\sqrt{3}$），
显然$\frac{\sqrt{3}}{6}$R²＞R²（2-$\sqrt{3}$），
乙方案矩形的最大面积．

点评 本题考查三角恒等变换的实际应用，考查正弦函数最值及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．