Question

2．定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），如对任意实数x，有f（x）＞f′（x），且f（x）+1为奇函数，则不等式f（x）+e^x＜0的解集是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，+∞）
• C． （-∞，$\frac{1}{e}$）
• D． （$\frac{1}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，（x∈R），从而求导g′（x）＜0，从而可判断y=g（x）单调递减，从而可得到不等式的解集．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，由f（x）＞f′（x），
得：g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，
故函数g（x）在R递减，
由f（x）+1为奇函数，得f（0）=-1，
∴g（0）=-1，
∵f（x）+e^x＜0，∴$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜-1，即g（x）＜g（0），
结合函数的单调性得：x＞0，
故不等式f（x）+e^x＜0的解集是（0，+∞）．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题．