Question

已知函数f（x）=

5

2

sinAsinx+cos2x（x∈R），其中A、B、C是△ABC的三个内角，且满足cos（A+

π

4

）=-

2

10

，A∈（

π

4

，

π

2

）
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若f（x）_max=f（B），且AC=5，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）由A∈（

π

4

，

π

2

）化简cos（A+

π

4

）=-

2

10

可解得sinA=

4

5

，化简解析式得f（x）=

3

2

-2（sinx-

1

2

）²，即可由正弦函数的性质可求f（x）的值域；
（2）由f（x）_max=f（B），又由（1）可得sinB=

1

2

，又sinA=

4

5

，AC=5，由正弦定理可得BC=8，由同角三角函数关系式可得cosA=

3

5

，cosB=±

3

2

，根据两角和正弦公式可得sinC的值．由三角形面积公式S_△ABC=

1

2

AC•BC•sinC即可得解．

解答： 解：（1）∵A∈（

π

4

，

π

2

），
∵cos（A+

π

4

）=-

2

10

⇒

2

2

（cosA-sinA）=-

2

10

⇒cosA-sinA=-

1

5

⇒

1-sin2A

=sinA-

1

5

⇒sin²A-

1

5

sinA-

12

25

=0⇒sinA=

4

5

或-

3

5

（舍去），
∴f（x）=

5

2

sinAsinx+cos2x=2sinx+cos2x=-2sin²x+2sinx+1=

3

2

-2（sinx-

1

2

）²，
∴当sinx=

1

2

时，f（x）_max=

3

2

．当sinx=-1是，f（x）_min=-3，
（2）∵f（x）_max=f（B），
∴由（1）可得：sinB=

1

2

，又sinA=

4

5

，AC=5，
∴由正弦定理可得：

AC

sinB

=

BC

sinA

，即：

5

1 2

=

BC

4 5

，可得：BC=8，
∵A∈（

π

4

，

π

2

），可得cosA=

3

5

，cosB=±

3

2

，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

4

5

×(±

3

2

)+

3

5

×

1

2

=

4 3 +3

10

或

3-4 3

10

（舍去），
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC•sinC=

1

2

×5×8×

4 3 +3

10

=8

3

+6．

点评：本题主要考查了正弦定理，同角三角函数关系式，两角和正弦公式，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质，熟练应用相关公式是解题的关键，属于基本知识的考查．