Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
（1）若f（﹣1）=0，f（0）=0，求出函数f（x）的零点；
（2）若f（x）同时满足下列条件：①当x=﹣1时，函数f（x）有最小值0，②f（1）=1求函数f（x）的解析式；
（3）若f（1）≠f（3），证明方程f（x）= [f（1）+f（3）]必有一个实数根属于区间（1，3）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（﹣1）=0，f（0）=0，

∴a=b；

∴f（x）=ax（x+1）；

∴函数f（x）的零点是0和﹣1

（2）解：由条件①得： ，a＞0；

∴b=2a，b2=4ac，

∴4a2=4ac，

∴a=c；

由条件②知：a+b+c=1，

由 解得，

．

∴

（3）证明：令 ，

则 ，

，

∴ ，

∴g（x）=0在（1，3）内必有一个实根，

即方程 必有一个实数根属于（1，3）．

【解析】（1）由f（﹣1）=0，f（0）=0得a=b；从而化简f（x）=ax（x+1）；从而确定零点；（2）由条件化简可得方程 ，从而解得；（3）令 ，从而可判断 ，从而证明