Question

【题目】已知向量 =（sinx，cosx）， =（sin（x﹣ ），sinx），函数f（x）=2 ，g（x）=f（ ）．
（1）求f（x）在[ ，π]上的最值，并求出相应的x的值；
（2）计算g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）的值；
（3）已知t∈R，讨论g（x）在[t，t+2]上零点的个数．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=2 =2sinxsin（x﹣ ）+2sinxcosx= sin2x+ sin2x

= sin2x﹣ cos2x+ =sin（2x﹣ ）+ ，

∵x∈[ ，π]，∴ ≤2x﹣ ≤ ，

∴﹣1≤sin（2x﹣ ）≤ ，f（x）最小值为 ﹣1，f（x）最大值为

（2）解：由（1）得，f（x）=sin（2x﹣ ）+ ．∴g（x）=f（ ）=sin（ x﹣ ）+ ．T=4，

∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=g（5）+g（6）+g（7）+g（8）=…=g（2009）+g（2010）+g（2011）+g（2012）．

g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=2 ，g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）=503×2 +

g（1）+g（2）

=1006 + =

（3）解：g（x）在[t，t+2]上零点的个数等价于y=sin（ x﹣ ）与y=﹣ 两图象交点个数．

在同一直角坐标系内作出这两个数的图象．

当4k＜t＜ +4k，k∈Z时，由图象可知，y=sin（ x﹣ ）与y=﹣ 两图象无交点，g（x）无零点

当 +4k≤t＜2+4k或 +4k＜t≤4+4k时，y=sin（ x﹣ ）与y=﹣ 两图象1个交点，g（x）1个零点

当2+4k≤t≤ +4k时，y=sin（ x﹣ ）与y=﹣ 两图象2个交点，g（x）2个零点

【解析】（1）利用向量数量积的坐标运算，再利用三角函数公式化f（x）为含一个角的一种三角函数形式，利用三角函数的性质求最值．（2）由（1）得，g（x）=f（ ）=sin（ x﹣ ）+ ．注意到T=4，利用分组方法求和．（3）g（x）在[t，t+2]上零点的个数等价于y=sin（ x﹣ ）与y=﹣ 两图象交点个数．利用数形结合的方法进行讨论．