【题目】(本小题满分13分)
已知椭圆的短轴长为
,且与抛物线
有共同的焦点,椭圆
的左顶点为A,右顶点为
,点
是椭圆
上位于
轴上方的动点,直线
,
与直线
分别交于
两点.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求线段的长度的最小值;
(Ⅲ)在线段的长度取得最小值时,椭圆
上是否存在一点
,使得
的面积为
,若存在求出点
的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)8(3)
或
【解析】(I)由已知得,抛物线的焦点为,则
,又
.
由,可得
.
故椭圆的方程为
.…………………………………………4分
(Ⅱ)直线的斜率
显然存在,且
,故可设直线
的方程为
,从而
.
由得
.………………………………6分
设,则
. 所以
,从而
.
即又
,
则直线的斜率为
.
由 得
所以.
故.
又,
.
当且仅当,即
时等号成立.
所以当时,线段
的长度取最小值
.…………………………………………8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当的长度取最小值时,
.
则直线的方程为
,此时
,
.
若椭圆上存在点
,使得
的面积等于
,则点
到直线
的距离等于
,
所以在平行于
且与
距离等于
的直线
上.
设直线.
则由 得
.………………………………………10分
.即
.
由平行线间的距离公式,得 ,
解得或
(舍去).
可求得或
.…………………………………………13分
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【题目】已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形,已知几何体A﹣BCED的体积为16.
(1)求实数a的值;
(2)将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周,求该旋转体的表面积.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,点,曲线
,以极点为坐标原点,极轴为
轴正半轴建立直角坐标系.
(1)在直角坐标系中,求点的直角坐标及曲线
的参数方程;
(2)设点为曲线
上的动点,求
的取值范围.
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【题目】已知向量 =(sinx,cosx),
=(sin(x﹣
),sinx),函数f(x)=2
,g(x)=f(
).
(1)求f(x)在[ ,π]上的最值,并求出相应的x的值;
(2)计算g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2014)的值;
(3)已知t∈R,讨论g(x)在[t,t+2]上零点的个数.
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【题目】三棱锥S﹣ABC中,SA⊥AB,SA⊥AC,AC⊥BC且AC=2,BC= , SB=
.
(1)证明:SC⊥BC;
(2)求三棱锥的体积VS﹣ABC
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