Question

【题目】如图，在直三棱柱中， ， ， 为中点， 与交于点．

（Ⅰ）求证： 平面．

（Ⅱ）求证： 平面．

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得？请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）当为中点时， ．

【解析】试题分析：（Ⅰ）证明：连结OD，可证OD为△A1BC的中位线，可得OD∥A1C，即可判定A1C∥平面AB1D．（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，可证AC⊥平面AA1B1B，从而可得AC⊥A1B，又A1B⊥AB1，AC∩AB1=A，即可证明A1B⊥平面AB1C．（Ⅲ）取B1C中点E，连结DE，AE，可证DE⊥BC，AD⊥BC，从而证明BC⊥平面ADE，进而可证BC⊥AE，即可得解．

试题解析：

（Ⅰ）连接，∴，∴四边形为正方形．∴为中点，又为中点，∴为的中位线，∴．∵平面， 面，

∴面．

（Ⅱ）由题知， ，又，∴ 面，

∴．在正方形中， ， ，∴面．

（Ⅲ）存在，取中点，连接， ．∴ ，∴ ．

∵， 为中点，∴．∵ ，∴ 面，

∴，∴当为中点时， ．