Question

20．在平面直角坐标系中，动点Q到点F（1，0）的距离比点Q到y轴的距离大1
（1）求动点Q的轨迹C的方程．
（2）过点F的直线l交C于A，B两点，若$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$（$\frac{2}{3}$＜λ＜2），点M（-1，0），求|MA|²+|MB|²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设动点Q的坐标为（x，y），根据动点Q到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，建立方程，化简可得点Q的轨迹C的方程；
（2）写出直线l的方程，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，消去x得y²-4my-4=0，0≤m²＜$\frac{1}{8}$，用m表示出|MA|²+|MB|²即可求得答案．

解答 解：（1）设动点Q的坐标为（x，y），
由题意，动点Q到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，
得$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=|x|+1，化简得y²=4x（x≥0）或y=0（x＜0）．
∴动点Q的轨迹C的方程为y²=4x（x≥0）或y=0（x＜0）；
（2）由题意可知，过点F的直线l交抛物线y²=4x于A，B两点，
如图，F（1，0），设l：x=my+1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） （ y₁y₂≠0），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，消去x得y²-4my-4=0．
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，①
且x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，
又$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$（$\frac{2}{3}$＜λ＜2），则（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），即y₁=-λy₂，
代入①得$（1-λ）{y}_{2}=4m，-λ{{y}_{2}}^{2}=-4$，消去y₂得4m²=λ+$\frac{1}{λ}$-2，
∵$\frac{2}{3}$＜λ＜2，∴2≤λ+$\frac{1}{λ}$＜$\frac{5}{2}$，则0≤m²＜$\frac{1}{8}$，
由M（-1，0），则$\overrightarrow{MA}$=（x₁+1，y₁），$\overrightarrow{MB}$=（x₂+1，y₂），
则|MA|²+|MB|²=$（{x}_{1}+1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}+（{x}_{2}+1）^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）+2+{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$
=$（m{y}_{1}+1）^{2}+（m{y}_{2}+1）^{2}+2（m{y}_{1}+m{y}_{2}+2）$$+2+{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=$（{m}^{2}+1）（{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）+4m（{y}_{1}+{y}_{2}）+8$
=（m²+1）（16m²+8）+4m•4m+8=16m⁴+40m²+16．
而当0≤m²＜$\frac{1}{8}$时，16≤16m⁴+40m²+16＜$\frac{85}{4}$，
∴16≤|MA|²+|MB|²$＜\frac{85}{4}$，
故|MA|²+|MB|²的取值范围是[16，$\frac{85}{4}$）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，训练了向量法在求解问题中的应用，考查计算能力，难度较大．