Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DA，E，F分别是AB，PB的中点．
（1）求证：CD⊥EF；
（2）当EF=

2

时，求在四棱锥F-ABCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由线面垂直得PD⊥CD，由正方形性质，得CD⊥AD，从而CD⊥AP，由三角形中位线定理得EF∥AP．由此能证明CD⊥EF．
（2）由EF=

1

2

AP，且EF=

2

，得AP=2

2

，由△PAD为等腰直角三角形，得PD=AD=2，点F到底面ABCD的距离为

1

2

PD=1，由此能求出四棱锥F-ABCD的体积．

解答： （1）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥CD…（2分）
∵底面ABCD为正方形，∴CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，从而CD⊥AP…（4分）
又E，F分别是AB，PB的中点，
∴EF∥AP．∴CD⊥EF…（6分）
（2）解：由（1）知，EF=

1

2

AP，且EF=

2

，
∴AP=2

2

…（8分）
又由题意知，△PAD为等腰直角三角形，∴PD=AD=2．
又∵点F为PB的中点，∴点F到底面ABCD的距离为

1

2

PD=1…（10分）
∴四棱锥F-ABCD的体积为V=

1

3

×2×2×1=

4

3

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用．