Question

设

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），记f（x）=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）试用“五点法”画出函数f（x）在区间[-

π

12

，

11π

12

]的简图；
（3）若对任意x∈[-

π

6

，

π

3

]时，不等式f（x）-m≥f（0）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,平面向量数量积的运算

专题：作图题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）先利用向量数量积的坐标运算写出函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，最后由周期公式即可得f（x）的最小正周期；
（2）由（1）f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，利用五点法，即将2x+

π

6

看成整体取正弦函数的五个关键点，通过列表、描点、连线画出函数图象；
（3）令g（x）=f（x）-m，由x的范围，求得g（x）的最小值，再求f（0），由任意x∈[-

π

6

，

π

3

]时，不等式f（x）-m≥f（0）恒成立，即有f（0）不大于最小值，解不等式即可得到m的范围．

解答： 解：（1）

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），
则f（x）=

a

•

b

=

3

sinxcosx+cos²x=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

则函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）先列表，再描点连线，可得简图．

x	- π 12	2π 12	5π 12	8π 12	11π 12
2x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
sin（2x+ π 6 ）	0	1	0	-1	0
y	1 2	3 2	1 2	- 1 2	1 2

（3）令g（x）=f（x）-m=sin（2x+

π

6

）+

1

2

-m，
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴g（x）∈[-m，

3

2

-m]，
当2x+

π

6

=-

π

6

即x=-

π

6

时，g（x）取得最小值-m，
又f（0）=

1

2

+

1

2

=1，
对任意x∈[-

π

6

，

π

3

]时，不等式f（x）-m≥f（0）恒成立，
则1≤-m，即有m≤-1．
故实数m的取值范围是（-∞，-1]．

点评：本题综合考查了向量的数量积的坐标表示及三角变换公式的运用，三角函数的图象画法，及复合三角函数值域的求法，同时考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．