Question

在空间直角坐标系D-xyz中，四棱锥P-ABCD的底面是一个平行四边形，

AB

=（2，-1，-4），

AD

=（4，2，0），

AP

=（-1，2，-1）
（1）求证：PA⊥底面ABCD
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得

AP

•

AB

=0，

AD

•

AP

=0，由此能证明PA⊥底面ABCD．
（2）由cos＜

AB

，

AD

＞，求得sin＜

AB

，

AD

＞，从而由S_{四边形ABCD}=|

AB

|×|

AD

|×sin＜

AB

，

AD

＞，求出四边形ABCD的面积，由

AP

=（-1，2，-1），求出|

AP

|，再由PA⊥底面ABCD，能求出四棱锥P-ABCD的体积．

解答： （1）证明：∵

AB

=（2，-1，-4），

AD

=（4，2，0），

AP

=（-1，2，-1），
∴

AP

•

AB

=-2-2+4=0，

AD

•

AP

=-4+4+0=0，
∴

AP

⊥

AB

，

AP

⊥

AD

，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，
又AB∩AD=A，∴PA⊥底面ABCD．
（2）解：∵四棱锥P-ABCD的底面是一个平行四边形，

AB

=（2，-1，-4），

AD

=（4，2，0），
∴cos＜

AB

，

AD

＞=

8-2+0

21 × 20

=

3

105

，∴sin＜

AB

，

AD

＞=

1-( 3 105 )2

=

4 2

35

，
∴S_{四边形ABCD}=|

AB

|×|

AD

|×sin＜

AB

，

AD

＞=

21

×

20

×

4 2

35

=8

6

，
∵

AP

=（-1，2，-1），∴|

AP

|=

1+4+1

=

6

，
∵PA⊥底面ABCD，
∴四棱锥P-ABCD的体积：
V=

1

3

×|

AP

|×S四边形ABCD=

1

3

×

6

×8

6

=16．

点评：本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．