Question

若单位圆⊙O的内接四边形ABCD中，AC=2，∠BAD=60°，则四边形ABCD的面积取值范围为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数的最值

专题：解三角形

分析：由题意可知AC是圆的直径，设出∠BAC=α，然后表示出四边形ABCD的面积，求解范围即可．

解答： 解：单位圆⊙O的内接四边形ABCD中，AC=2，∠BAD=60°，
可得AC是圆的直径，设∠BAC=α，α∈（0°，60°）
S_△ABC+S_△ACD=

1

2

×2sinα2cosα+

1

2

2sin(60°-α)•2cos(60°-α)
=sin2α+sin（120°-2α）
=sin2α+

3

2

cos2α+

1

2

sin2α
=

3

2

cos2α+

3

2

sin2α
=

3

sin（2α+30°）．
∵α∈（0°，60°）
∴2α+30°∈（30°，150°）．
∴sin（2α+30°）∈（

1

2

，1]．
∴

3

sin（2α+30°）∈(

3

2

，

3

]．
故答案为：(

3

2

，

3

]．

点评：本题考查正弦定理的应用，三角形的面积的求法，三角函数的最值的求法考查计算能力．