Question

已知向量

m

=（cos

x

2

，-1），

n

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

），设函数f（x）=

m

•

n

．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在x∈[0，π]上的零点．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,函数的零点,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换求得函数的解析式，再根据正弦函数的增区间，求出f（x）的单调递增区间．
（2）由f（x）=0求得sin（x-

π

6

）=

1

2

，可得x-

π

6

=2kπ+

π

6

，或x-

π

6

=2kπ+

5π

6

，由此求得x的值，从而得到函数f（x）在x∈[0，π]上的零点．

解答： 解：（1）函数f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

2

cos

x

2

-cos2

x

2

=

3

2

sinx-

1+cosx

2

=sin（x-

π

6

）-

1

2

，
令2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得2kπ-

π

3

≤x-

π

6

≤2kπ+

2π

3

，k∈z，
可得函数的增区间为[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]，k∈z．
（2）由f（x）=sin（x-

π

6

）-

1

2

=0，求得sin（x-

π

6

）=

1

2

，
∴x-

π

6

=2kπ+

π

6

，或x-

π

6

=2kπ+

5π

6

，即 x=2kπ+

π

3

 或x=2kπ+π，
∴函数f（x）在x∈[0，π]上的零点为

π

3

 和π．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、三角恒等变换、正弦函数的增区间、函数的零点，属于中档题．