Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且函数f（x）关于直线x=a（a≠0，且a为常数）对称，证明：f（x）是周期函数．

Answer 1

考点：函数的周期性,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意得出f（-x）=-f（x），f（x）=f（2a-x），f（-x）=f（2a+x），即f（x+2a）=-f（x），f（x+4a）=f（x），即可证明．

解答： 证明：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∵函数f（x）关于直线x=a（a≠0，且a为常数）对称，
∴f（x）=f（2a-x），
f（-x）=f（2a+x），
即f（x+2a）=-f（x），
∴∴f（x）是周期函数．周期为4a，

点评：本题考查了函数的性质，运用奇偶性，对称性证明问题，属于中档题．