Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别为AB、BB₁的中点．
（1）证明：BC₁∥平面A₁CD
（2）若AA₁=AC=CB=2，AB=2

2

，求三棱锥A₁-CDE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线面平行的判定定理，需在平面A₁DE内找一条与BC₁平行的直线．因为ACC₁A₁是矩形，故对角线互相平分，所以连结AC₁，与A₁C交于点O．因为D是AB的中点，连结OD，则OD是△ABC₁的中位线，所以BC₁∥OD，从而可证得BC₁∥平面A₁CD．
（2）先求出CD⊥平面A₁DE．再由VA1-CDE=VC-A1DE，利用等积法能三棱锥A₁-CDE的体积．

解答： （1）证明：连结AC₁，交A₁C于点O，连结OD，
因为D是AB的中点，所以BC₁∥OD，
因为BC₁?平面A₁CD，OD?平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．
（2）解：因为AC=BC，D为AB的中点，所以CD⊥AB，
又因为该三棱柱是直三棱柱，所以CD⊥平面ABB₁A₁，
即CD⊥平面A₁DE．
所以VA1-CDE=VC-A1DE=

1

3

×S△A1DE×CD．
因为AC=BC=2，AB=2

2

，所以CD=

2

．
S△A1DE=2

2

×2-

1

2

×

2

×2-

1

2

×

2

×1-

1

2

×2

2

×1=

3 2

2

，
所以VA1-CDE=VC-A1DE=

1

3

×

3 2

2

×

2

=1．

点评：本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用．