Question

已知两定点A（1，0），B（-1，0），动点P在y轴上的射影为Q，

PA

•

PB

+

PQ

=0
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）直线l交y轴于点C（0，m），交轨迹E于M，N两点，且满足

MC

=3

CN

，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,轨迹方程

专题：平面向量及应用,向量与圆锥曲线

分析：（1）首先根据向量的坐标求出向量的数量积，和向量的模，根据条件求出轨迹的方程．
（2）进一步利用第一步的结论，与直线建立方程组，然后根据

2x2+y2=1 y=kx+m

得到：（2+k²）x²+2kmx+m²-1=0，利用判别式建立m和k的关系式，进一步利用条件得到横坐标的关系，然后利用根和系数的关系求出参数的取值范围．

解答： 解：（1）设P（x，y），则：
P在y轴上的射影为Q，Q（0，y）
则：

PA

=(1-x，-y)，

PB

=(-1-x，-y)，

PQ

=(-x，0)
所以：

PQ

2=x2
由于：

PA

•

PB

+

PQ

2=0
所以：x²+y²-1+x²=0
即：2x²+y²=1
所以：动点P的轨迹E的方程为：2x²+y²=1
（2）直线l交y轴于点C（0，m），则：设直线的方程为：y=kx+m，
与轨迹E的坐标M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则：联立的方程组为：

2x2+y2=1 y=kx+m

整理得：（2+k²）x²+2kmx+m²-1=0
所以△=4k²m²-4（2+k²）（m²-1）＞0
整理得：2+k²＞2m²
所以：x1+x2=

-2km

2+k2

，x1x2=

m2-1

2+k2

又：

MC

=3

CN

则：-x₁=3x₂
所以：k²（4m²-1）=2-2m²
整理得：2+

2-2m2

4m2-1

＞2m2
化简为：

1

4

＜m2＜1
解得：-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1．
所以：实数m的取值范围为：-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1

点评：本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，轨迹方程的求法，根与系数的关系，利用方程组求参数的取值范围．属于难题．