Question

如图，E是以AB为直径的半圆O上异于点A，B的点，边长为4的正方形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面．
（1）求证：EB⊥ED；
（2）若平面ECD与半圆弧的另一个交点为F．
（Ⅰ）证明：EF∥AB；
（Ⅱ）若EF=2，求三棱锥E-BFC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,简单空间图形的三视图

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由圆的性质得AE⊥BE，由面面垂直性质定理得AD⊥平面ABE，从而AD⊥BE，进而BE⊥平面ADE，由此能证明EB⊥ED．
（2）（Ⅰ）由CD∥AB，得CD∥平面ABE，根据线面平行的性质定理得CD∥EF，又CD∥AB，由此能证明EF∥AB．
（Ⅱ）取AB中点O，EF的中点O′，由V_E-ADF=V_D-AEF，利用等积法能求出三棱锥E-BEC的体积．

解答： （1）证明：∵E是半圆上异于A，B的点，
∴AE⊥BE，又∵平面ABCD⊥平面ABE，且AD⊥AB，
由面面垂直性质定理得AD⊥平面ABE，
又BE?平面ABE，∴AD⊥BE，
∵AD∩AE=A，∴BE⊥平面ADE，
又DE?平面ADE，∴EB⊥ED．（4分）
（2）（Ⅰ）证明：∵CD∥AB，
且CD?平面ABE，AB?平面ABE，
∴CD∥平面ABE，
又∵平面CDE∩平面ABE=EF，
∴根据线面平行的性质定理得CD∥EF，又CD∥AB，
∴EF∥AB．（8分）
（Ⅱ）解：∵EF=2，取AB中点O，EF的中点O′，
∴在Rt△OO′F中，OF=2，O′F=1，∴OO′=

3

，
∵BC⊥面ABE，AD∥BC
∴AD⊥平面ABE
∴V_E-ADF=V_D-AEF=

1

3

S_△AEF•AD=

1

3

×

1

2

•EFEF•OO′•AD=

1

3

×

1

2

×2×

3

×4=

4 3

3

．
∴三棱锥E-BEC的体积为

4 3

3

．（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与直线平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．