Question

已知F是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦点，A是相应的顶点，P是y轴上的点，满足∠FPA=α，则双曲线的离心率的最小值为（　　）

• A、

  1

  sinα

• B、

  1

  cosα

• C、

  1+sinα

  1-sinα

• D、

  1+cosα

  1-cosα

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,不等式的解法及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设F为双曲线的右焦点，且为（c，0），右顶点A（a，0），设|OP|=h，则tanα=tan（∠FPO-∠APO），运用两角差的正切公式，结合基本不等式，得到e的不等式解得e即可，再由同角公式化简即可得到．

解答： 解：设F为双曲线的右焦点，且为（c，0），右顶点A（a，0），
设|OP|=h，
则tanα=tan（∠FPO-∠APO）=

tan∠FPO-tan∠APO

1+tan∠FPOtan∠APO

=

c h - a h

1+ ac h2

=

c-a

h+ ac h

，
由于h+

ac

h

≥2

ac

，当且仅当h=

ac

时，取等号．
即有tanα≤

c-a

2 ca

，
即2tanα≤

c a

-

a c

，
即有2tanα≤

e

-

1 e

，即e-2

e

tanα-1≥0，
即

e

≥tanα+

1+tan2α

，
即有e≥（

1+sinα

cosα

）²=

(1+sinα)2

cos2α

=

(1+sinα)2

1-sin2α

=

1+sinα

1-sinα

．
当且仅当h=

ac

时，e的最小值为

1+sinα

1-sinα

．
故选：C．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查基本不等式的运用，运用两角差的正切公式是解题的关键．