Question

已知f（x）=xlnx-

1

2

mx²-x，x∈R．
（Ⅰ）当m=-2时，求函数f（x）的所有零点；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求证：x₁x₂＞e²（e为自然对数的底数）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数的零点

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当m=-2时，f（x）=xlnx+x²-x=x（lnx+x-1），x＞0．设g（x）=lnx+x-1，x＞0，利用导数研究其单调性即可得出；
（Ⅱ）欲证x₁x₂＞e²，需证lnx₁+lnx₂＞2．若f（x）有两个极值点x₁，x₂，即函数f′（x）有两个零点x₁，x₂．又f′（x）=lnx-mx，可得m=

lnx1+lnx2

x1+x2

=

lnx2-lnx1

x2-x1

，即lnx₁+lnx₂=

(1+ x2 x1 )ln x2 x1

x2 x1 -1

．又0＜x₁＜x₂，设t=

x2

x1

，则t＞1．可得lnx₁+lnx₂=

(1+t)lnt

t-1

，t＞1．要证lnx₁+lnx₂＞2，即证：

(t+1)lnt

t-1

＞2，t＞1．lnt＞

2(t-1)

t+1

．设函数h（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，t＞1．利用导数研究其单调性极值与最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）解：当m=-2时，f（x）=xlnx+x²-x=x（lnx+x-1），x＞0．
设g（x）=lnx+x-1，x＞0，则g′(x)=

1

x

+1＞0，于是g（x）在（0，+∞）上为增函数．
又g（1）=0，∴g（x）有唯一零点x=1．
从而，函数f（x）有唯一零点x=1．

（Ⅱ）证明：欲证x₁x₂＞e²，需证lnx₁+lnx₂＞2．
若f（x）有两个极值点x₁，x₂，即函数f′（x）有两个零点．
又f′（x）=lnx-mx，∴x₁，x₂，是方程f′（x）=0的两个不同实根．
于是，有

lnx1-mx1=0 lnx2-mx2=0

．解之得，m=

lnx1+lnx2

x1+x2

．
另一方面，lnx₂-lnx₁=m（x₂-x₁），
从而可得，

lnx2-lnx1

x2-x1

=

lnx1+lnx2

x1+x2

．
于是lnx₁+lnx₂=

(1+ x2 x1 )ln x2 x1

x2 x1 -1

．
又0＜x₁＜x₂，设t=

x2

x1

，则t＞1．
因此，lnx₁+lnx₂=

(1+t)lnt

t-1

，t＞1．
要证lnx₁+lnx₂＞2，
即证：

(t+1)lnt

t-1

＞2，t＞1．即：当t＞1时，有lnt＞

2(t-1)

t+1

．
设函数h（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，t＞1．
则h′(t)=

1

t

-

2(t+1)-2(t-1)

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴h（t）为（1，+∞）上的增函数．注意到，h（1）=0．
因此，h（t）＞h（1）＞0．
于是，当t＞1时，有lnt＞

2(t-1)

t+1

．
∴lnx₁+lnx₂＞2成立，即x1x2＞e2．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、换元法、对数的运算性质，考查了等价转化能力，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．