Question

已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x（a∈R）在x=0处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）证明：ln（x+1）≤x²+x；
（3）若关于x的方程f（x）=-

5

2

x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=

1

x+a

-2x-1，由在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，解出即可．
（2）当a=1时，f（x）=ln（x+1）-x²-x，其定义域为{x|x＞-1}．利用导数研究函数f（x）在（-1，+∞）上的最值，即可证明．
（3）f（x）=-

5

2

x+b即ln（x+1）-x²+

3

2

x-b=0，令g（x）=ln（x+1）-x²+

3

2

x-b，x∈（-1，+∞）．关于x的方程f（x）=-

5

2

x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根?g（x）=0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根．利用导数研究其单调性极值与最值，数形结合即可得出．

解答： （1）解：f′（x）=

1

x+a

-2x-1，
∵在x=0处取得极值，
∴f′（0）=0，
∴

1

a

-1=0，解得a=1．
经过验证a=1时，符合题意．
（2）证明：当a=1时，f（x）=ln（x+1）-x²-x，其定义域为{x|x＞-1}．
f′（x）=

1

x+1

-2x-1=

-x(2x+3)

x+1

，
令f′（x）=0，解得x=0．
当x＞0时，令f′（x）＜0，f（x）单调递减；当-1＜x＜0时，令f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴f（0）为函数f（x）在（-1，+∞）上的极大值即最大值．
∴f（x）≤f（0）=0，∴ln（x+1）≤x²+x，当且仅当x=0时取等号．
（3）解：f（x）=-

5

2

x+b即ln（x+1）-x²+

3

2

x-b=0，
令g（x）=ln（x+1）-x²+

3

2

x-b，x∈（-1，+∞）．
关于x的方程f（x）=-

5

2

x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根?g（x）=0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根．
g′（x）=

1

x+1

-2x+

3

2

=

-(4x+5)(x-1)

2(x+1)

，
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上单调递增．
当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上单调递减．
∴

g(0)=-b≤0 g(1)=ln2-1+ 3 2 -b＞0 g(2)=ln3-1-b≤0

，
∴ln3-1≤b≤ln2+

1

2

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程的实数根转化为函数图象与x轴的交点的问题，考查了数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．