Question

已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=12，ab+bc+ca=45，则max{a，b，c}的最小值为

 

．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：不妨设a=Max{a，b，c}，根据条件确定a的不等式，即可求出max{a，b，c}的最小值．

解答： 解：不妨设a=Max{a，b，c}
由a+b+c=12得到a≥4并有（a-b）（a-c）≥0得到关系a²-ab-ac+bc＞=0
即：a²-a（12-a）+bc≥0 即：bc≥12a-2a²，
由45=ab+bc+ac=bc+a（12-a）≥12a-2a²+a（12-a）
∴（a-5）（a-3）≥0
∴a≥5
∴max{a，b，c}的最小值为5．
故答案为：5．

点评：本题考查max{a，b，c}的最小值，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．