Question

如图所示，在矩形ABCD中，AD=1，AB=2，点E是线段AB的中点，把三角形AED沿DE折起，设折起后点A的位置为 P，F是PD的中点．
（1）求证：无论P在什么位置，都有 AF∥平面 PEC；（2）当点P在平面ABCD上的射影落在线段DE上时，若三棱锥P-ECD的四个顶点都在一个球上，求这个球的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据面面平行得到线面平行；（2）画出图象，求出外接球的半径，从而求出球的体积．

解答： （1）证明：设CD的中点是G，连接AG、FG，
∵CG∥AE，CG=AE，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴AG∥EC，
∵AG?平面PEC，EC?平面PEC，
∴AG∥平面PEC，
又∵FG∥PC，FG?平面PEC，PC?平面PEC，
∴FG∥平面PEC，
∵FG?平面AGF，AG?平面AGF，FG∩AG=G，
∴平面AGF∥平面PEC，而AF?平面AGF，
∴AF∥平面PEC；

（2）解：如图（1）所示，
∵PD=PE=1，若点P的射影为O，
∵点P的射影在线段DE上，
∴O是线段DE的中点，且PO⊥平面EBCO，
∵△PDE是等腰直角三角形，PD=PE=1，
∴OP=

2

2

，
由△ECD是等腰直角三角形，∠DEC=90°，
∴三棱锥P-ECD的外接球是如图（2）所示的长方体的外接球，
∴外接球的半径R=

1

2

2 2+ 2 2+( 2 2 )2

=

3 2

4

，
∴V=

4

3

πR³=

9 2 π

8

．

点评：本题考查了线面，面面的平行的性质以及判断，考查了球的体积问题，本题属于中档题．