Question

有一个所有棱长均为a的正四棱锥P-ABCD，还有一个所有棱长均为a的正三棱锥．将此三棱锥的一个面与正四棱锥的一个侧面完全重合地粘在一起，得到一个如图所示的多面体．
（Ⅰ）证明：P，E，B，A四点共面；
（Ⅱ）求三棱锥A-DPE的体积；
（Ⅲ）在底面ABCD内找一点M，使EM⊥面PBC，指出M的位置，并说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取PB的中点F，连结CF，由已知得AF⊥PB，CF⊥PB，AF=CF=

3

2

a，从而∠ACF为二面角A-PB-C的平面角，∠EFC为E-PB-C的平面角，由余弦定理，得cos∠AFC=-

1

3

，cos∠EFC=

1

3

，由此能证明P，E，B，A四点共面．
（Ⅱ）由已知得BE∥平面APD，利用V_A-EPD=V_B-APD=V_P-ABD，由等积法能求出三棱锥A-DPE的体积．
（Ⅲ）由已知得H为△PBC的重心，且H为△ACE的重心，由此能求出M为线段AC的中点．

解答： 解：（Ⅰ）证明：取PB的中点F，连结CF，
∵各面都为正三角形，∴AF⊥PB，CF⊥PB，
且AF=CF=

3

2

a，
∴∠ACF为二面角A-PB-C的平面角，∠EFC为E-PB-C的平面角，
在△AFC中，由余弦定理，得：
cos∠AFC=

AF2+CF2-AC2

2AF•CF

=

3 4 a2+ 3 4 a2-2a2

2× 3 2 a× 3 2 a

=-

1

3

，
cos∠EFC=

EF2+CF2-EC2

2EF•CF

=

3 4 a2+ 3 4 a2-a2

2× 3 2 a× 3 2 a

=

1

3

，
∴∠AFC+∠EFC=π，
∴P，E，B，A四点共面．
（Ⅱ）解：∵A，B，E，P四点共面，∠PAB=60°，∠ABE=120°，
∴AP∥BE，又BE?平面APD，AP?平面APD，∴BE∥平面APD，
∴V_A-EPD=V_B-APD=V_P-ABD=

1

3

×

1

2

×a×a×

2

2

a=

2

12

a3．
（Ⅲ）解：∵ME⊥平面PBC，交平面PBC于H，
∴H为△PBC的重心，
连结AC，在△ACE中，∵

CH

HF

=

1

2

，
∴H为△ACE的重心，
∴M为线段AC的中点．

点评：本题考查四点共面的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查满足条件的点的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用．