Question

如图，四边形ABCD为菱形，ACFE为平行四边形，且平面ACFE⊥平面ABCD，设BD与AC相交于点G，H为FG的中点．
（1）证明：BD⊥CH；
（2）若AB=BD=2，AE=

3

，CH=

3

2

，求三棱锥F-BDC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由菱形性质得BD⊥AC，由面面垂直的性质得BD⊥面ACFE，由此能证明BD⊥CH．
（2）由已知得∠GCF=120°，GF=3，由线面垂直得BD⊥GF，从而S_△BDF=3，由CH⊥BD，CH⊥GF，得CH⊥平面BDF，由V_F-BDC=V_C-BDF，利用等积法能求出三棱锥F-BDC的体积．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，…（1分）
又∵面ACFE∩面ABCD=AC，
∴BD?平面ABCD，…（2分）
∵面ABCD⊥面ACFE，…（3分）
∴BD⊥面ACFE，…（4分）
∵CH?面ACFE，…（5分）
∴BD⊥CH．…（6分）
（2）解：在△FCG中，CG=CF=

3

，CH=

3

2

，CH⊥GF，
∴∠GCF=120°，…（6分）GF=3，…（8分）
∵BD⊥面ACFE，GF?面ACFE，
∴BD⊥GF，…（9分）
S_△BDF=

1

2

BD•GF=

1

2

×2×3=3，…．（10分）
又∵CH⊥BD，CH⊥GF，∴BD∩GF=G，
∴BD，GF?平面BDF，
∴CH⊥平面BDF，…（12分）
∴V_F-BDC=V_C-BDF=

1

3

•S△BDF•CH=

1

3

×3×

3

2

=

3

2

．…（14分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意线面、面面平行与垂直的性质的合理运用．