Question

已知A（0，1），曲线C：y=log_ax恒过点B，若P是曲线C上的动点，且

AB

•

AP

的最小值为2，则a=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：运用对数函数的图象特点可得B（1，0），设P（x，log_ax），运用向量的数量积的坐标表示，可得f（x）=x-log_ax+1，再由导数，求得极值点即为最值点，对a讨论，0＜a＜1，a＞1两种情况，通过单调性即可判断，并求得a=e．

解答： 解：曲线C：y=log_ax恒过点B，则令x=1，可得y=0，
即B（1，0），又点A（0，1），设P（x，log_ax），
则

AB

•

AP

=(1，-1)•(x，logax-1)=x-logax+1．
由于f（x）=x-log_ax+1在（0，+∞）上有最小值2，
且f（1）=2，故x=1是f（x）的极值点，即最小值点．
f′(x)=1-

1

xlna

=

xlna-1

xlna

，
若0＜a＜1，f'（x）＞0，f（x）单调增，在（0，+∞）无最小值，故a＞1，
设f'（x）=0，则x=log_ae．
当x∈（0，log_ae）时，f'（x）＜0，当x∈（log_ae，+∞）时，f'（x）＞0，
从而当且仅当x=log_ae时，f（x）取最小值，
所以log_ae=1，即有a=e．
故答案为：e．

点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，主要考查函数的导数的运用：求极值和最值，运用分类讨论的思想和函数的单调性是解题的关键．