Question

设函数f（x）的定义域为R，且对任意的实数x，满足f（2-x）=f（2+x），f（5-x）=f（5+x），且f（0）=0，则f（x）在区间[-18，18]上至少有个（　　）零点．

• A、10
• B、11
• C、12
• D、13

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：由f（2-x）=f（2+x），f（5-x）=f（5+x），求出函数的周期为6，利用f（0）=0以及函数的周期性即可求出其他对应的零点．

解答： 解（1）由f（2-x）=f（2+x），f（5-x）=f（5+x）得f（x）的图象关于直线x=2，x=5对称．
即f（-x）=f（x+4），f（-x）=f（x+10），
则f（x+4）=f（x+10），
即f（x+6）=f（x），
∴f（x）是以6为周期的周期函数．
∵f（0）=0，∴f（0）=f（6）=f（12）=f（18）=f（-6）=f（-12）=f（-18），此时有7个零点，
当x=2时，f（0）=f（4）=f（10）=f（16）=f（-2）=f（-8）=f（-14），此时有6个零点（不含0），
令x=5，则f（0）=f（10）=f（-10），此时的零点重复，
综上f（x）在区间[-18，18]上至少有个13个零点．
故选：D．

点评：本题主要考查抽象函数的应用以及函数零点的求解，根据函数的对称性求出函数的周期是解决本题的关键．