Question

已知函数f（x）=x²+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x-y+3=0平行，若数列{

1

f(n)

}的前n项和为S₂₀₁₅的值为（　　）

• A、

  2015

  2014

• B、

  2014

  2015

• C、

  2016

  2015

• D、

  2015

  2016

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,二次函数的性质,数列的求和

专题：函数的性质及应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据导数的定义求出函数f（x）的解析式，然后求出数列的通项公式，从而得到答案．

解答： 由题可知函数f（x）的图象在点A处的切线l的斜率为1，
又f′（x）=2x+2b，故f′（0）=2b=1，
即b=

1

2

，从而f（x）=x²+x．
故

1

f(x)

=

1

x

-

1

x+1

．
所以S2015=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…(

1

2014

-

1

2015

)+(

1

2015

-

1

2016

)=

2015

2016

．
故选：D．

点评：本题主要考察导数的意义及数列的前n项和求法．