Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若{S_n}是首项为S₁，各项均为正数且公比为q的等比数列，
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n（用S₁和q表示）；
（2）试比较a_n+a_n+2与2a_n+1的大小，并证明你的结论．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列的通项公式求出S_n的表达式，结合a_n与S_n的关系即可求数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）利用作差法，结合公比q的取值范围即可比较a_n+a_n+2与2a_n+1的大小．

解答： 解：（1）∵{S_n}是首项为S₁，各项均为正数且公比为q的等比数列，
∴S_n=S₁q^n-1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=S₁q^n-1-S₁q^n-2=（S₁q-S₁）q^n-2，
则数列{a_n}的通项公式a_n=

a1， n=1 (S1q-S1)qn-2， n≥2

；
（2）当n=1时，（2）当n=1时，∵a₁+a₃-2a₂=S₁+S₁（q-1）q-2S₁（q-1）
=S1[(q-

3

2

)2+

3

4

]＞0，
∴a₁+a₃＞2a₂．
当n≥2时，a_n+a_n+2-2a_n+1=S₁（q-1）q^n-2+S₁（q-1）qⁿ-2S₁（q-1）q^n-1=S₁（q-1）³q^n-2．
∵S₁＞0，q^n-2＞0，
①当q=1时，（q-1）³=0，∴a_n+a_n+2=2a_n+1；
②当0＜q＜1时，（q-1）³＜0，∴a_n+a_n+2＜2a_n+1；
③当q＞1时，（q-1）³＞0，∴a_n+a_n+2＞2a_n+1．
综上，我们可知当n=1时，a₁+a₃＞2a₂．
当n≥2时，若q=1，则a_n+a_n+2=2a_n+1；若
0＜q＜1，则a_n+a_n+2＜2a_n+1；
若q＞1，则a_n+a_n+2＞2a_n+1．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式的应用，以及不等式的大小比较，注意使用分类讨论的数学思想．