Question

函数f（x）=-x³+ax²（a∈R）．
（1）当a＞0时，求函数y=f（x）的极值；
（2）若x∈[0，1]时，函数y=f（x）图象上任意一点处的切线倾斜角为θ，求当0≤θ≤

π

4

时a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f′（x）=-3x²+2ax，令f′（x）=0，得x=0，或x=

2

3

a．a＞0．利用导数与单调性的关系列出表格即可得出．
（2）当x∈[0，1]时，tanθ=f′（x）=-3x²+2ax，由θ∈[0，

π

4

]，得0≤f′（x）≤1，即x∈[0，1]时，0≤-3x²+2ax≤1恒成立．对x分类讨论，分离参数，利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）由f′（x）=-3x²+2ax，令f′（x）=0，得x=0，或x=

2

3

a．a＞0．
∴当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0， 2 3 a）	2 3 a	（ 2 3 a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

∴y_极小值=f（0）=0．y_极大值=f(

2

3

a)=-

8

27

a³+

4

9

a³=

4

27

a3．
（2）当x∈[0，1]时，tanθ=f′（x）=-3x²+2ax，由θ∈[0，

π

4

]，得0≤f′（x）≤1，
即x∈[0，1]时，0≤-3x²+2ax≤1恒成立．
当x=0时，a∈R．
当x∈（0，1]时，由-3x²+2ax≥0恒成立，可知a≥

3

2

．
由-3x²+2ax≤1恒成立，得a≤

1

2

（3x+

1

x

），∴a≤

3

（等号在x=

3

3

时取得）．
综上：

3

2

≤a≤

3

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、几何意义、基本不等式的性质，考查了分类讨论、分离参数方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．