Question

给出以下命题：
（1）若

∫

b a

f(x)dx＞0，则f（x）＞0；  
（2）

∫

2π -2π

sinx

e|x|

dx=0；
（3）应用微积分基本定理，有

∫

2 1

1

x

dx=F（2）-F（1），则F（x）=lnx；
（4）f（x）的原函数为F（x），且F（x）是以T为周期的函数，则

∫

a 0

f（x）dx=

∫

a+T T

f（x）dx；
其中正确命题的为（　　）

• A、（3），（4）
• B、（1），（2）
• C、（1），（4）
• D、（2），（4）

Answer 1

考点：定积分

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,简易逻辑

分析：由定积分的意义判断（1）；由函数奇偶性的性质结合定积分的意义判断（2）；
求出函数y=

1

x

的原函数判断（3）；由定积分的计算结合函数的周期性判断（4）．

解答： 解：对于（1），∵

∫

b a

f(x)dx是数，由

∫

b a

f(x)dx＞0，说明曲线y=f（x）与x=a，x=b及x轴所形成的封闭图形的面积大于0，函数y=f（x）的图象不一定都在x轴上方，命题（1）错误；  
对于（2），∵

sinx

e|x|

为奇函数，其图象关于原点对称，
∴

∫

2π -2π

sinx

e|x|

dx=0，命题（2）正确；
对于（3），根据函数导数运算性质，若F′（x）=

1

x

，应有  F（x）=lnx+c（c为常数），（3）错误；
对于（4），

∫

a 0

f（x）dx═F（a）-F（0），

∫

a+T T

f（x）dx=F（a+T）-F（T）=F（a）-F（0），即命题（4）正确．
∴正确的命题是（2），（4）．
故选：D．

点评：本题考查了命题的真假判断与运用，考查了定积分，考查了定积分的意义，是中档题．