Question

16．已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）记函数g（x）=10^f（x）+2x，求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的真数要大于0，即可求解函数f（x）的定义域；
（2）函数g（x）=10^f（x）+2x，求解出g（x）的解析式，在求其值域．

解答 解：（1）由题意：函数f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）=$lg（\frac{2+x}{2-x}）$
∴函数f（x）的定义域满足：$\left\{\begin{array}{l}{2-x＞0}\\{2+x＞0}\end{array}\right.$，解得：-2＜x＜2
故函数f（x）的定义域为（-2，2）．
（2）∵函数g（x）=10^f（x）+2x，
∴g（x）=$\frac{2+x}{2-x}$+2x=$\frac{2{x}^{2}-5x-2}{x-2}$=$\frac{2}{x-2}+2（x-2）+3$，（-2＜x＜2）
∵$-（\frac{2}{2-x}+2（2-x）$$≥-2\sqrt{4}=-4$，即$\frac{2}{x-2}+2（x-2）≤4$，当且仅当x=1时取等号．
根据勾勾函数的性质：可得：函数g（x）在（-2，1）时，是增函数，（1，2）时，是减函数．
故得g（x）∈（-$\frac{11}{2}$，7]．
所以函数g（x）的值域为（-$\frac{11}{2}$，7]．

点评 本题考查了对数的定义域的求法和计算能力以及值域的问题．属于中档题．