Question

2．直线y=-x+b与曲线$y=\sqrt{4-{x^2}}$有且只有两个公共点，则b的取值范围是（　　）

• A． 2＜b＜2$\sqrt{2}$
• B． 2≤b＜2$\sqrt{2}$
• C． 2≤b≤2$\sqrt{2}$
• D． 2＜b≤2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由曲线$y=\sqrt{4-{x^2}}$变形为x²+y²=4（y≥0），画出y=-x+b，x²+y²=4（y≥0）图象．当直线经过点（2，0），（0，2）时，直线与曲线有两个公共点，求出此时b．再求出当直线与曲线相切时b的值即可．

解答 解：由曲线$y=\sqrt{4-{x^2}}$变形为x²+y²=4（y≥0）
画出y=-x+b，x²+y²=4（y≥0）图象，
①当直线经过点（2，0），（0，2）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=2．
②当直线与曲线相切时，联立直线y=-x+b与曲线$y=\sqrt{4-{x^2}}$，
化为2x²+2bx+b²-4=0，令△=4b²-8（b²-4）=0，解得b=2$\sqrt{2}$．
因此，当2≤b＜2$\sqrt{2}$时，直线与曲线有两个公共点．
∴b的取值范围是2≤b＜2$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了有条件的直线与圆相交相切问题、数形结合等基础知识与基本技能方法，属于中档题．