Question

11．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为棱A₁A和B₁B的中点．求：
（I）异面直线AB与D₁N所成的角的正切值；
（II）异面直线CM与D₁N所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB∥D₁C₁，得异面直线CM与D₁N所成角为∠C₁D₁N，由此能求出异面直线AB与D₁N所成的角的正切值．
（Ⅱ）推导出四边形BND₁E是平行四边形，从而D₁N∥BE，进而∠BOC=θ是异面直线CM与D₁N所成角，由此能求出异面直线CM与D₁N所成角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为棱A₁A和B₁B的中点．
∴AB∥D₁C₁，
∴异面直线CM与D₁N所成角为∠C₁D₁N，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，则C₁N=$\sqrt{5}$，
∴tan∠C₁D₁N=$\frac{{{C_1}N}}{{{C_1}{D_1}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
∴异面直线AB与D₁N所成的角的正切值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（Ⅱ）不妨设正方体棱长为2，取DD₁的中点E，连结BE，
由题意知ME∥BC，∴CM与BE相交于O点，
∵D₁E$\underset{∥}{=}$BN，∴四边形BND₁E是平行四边形，
∴D₁N∥BE，∴∠BOC=θ是异面直线CM与D₁N所成角，
∵OB=OC=$\frac{1}{2}$MC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{{（2\sqrt{2}）}^2}}=\frac{3}{2}$，
∴$cosθ=\frac{{\frac{9}{4}+\frac{9}{4}-4}}{{2×\frac{9}{4}}}=\frac{1}{9}$，
∴异面直线CM与D₁N所成角的余弦值为$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查异面直线所成角的正切值和余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合，考查创新意识、应用意识，是中档题．