Question

5．观察（x²）′=2x，（x⁴）′=4x³，（cosx）′=-sinx，则归纳推理可得，若定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），g（x）为f（x）的导数，则g（x）=（　　）

• A． f（x）
• B． -f（x）
• C． -g（-x）
• D． g（-x）

Answer 1

分析 由已知中（x²）'=2x，（x⁴）'=4x³，（cosx）'=-sinx，…分析其规律，我们可以归纳推断出，偶函数的导函数为奇函数，再结合函数奇偶性的性质，即可得到答案．

解答 解：由（x²）'=2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；
（x⁴）'=4x³中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；
（cosx）'=-sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；
…
我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．
若定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），
则函数f（x）为偶函数，
又∵g（x）为f（x）的导函数，则g（x）奇函数
故g（-x）+g（x）=0，即g（x）=-g（-x），
故选：C．

点评 本题给出几个奇函数与它们的导数，要求我们发现规律，并对满足条件的函数f（x）按此规律进行选择，着重考查了归纳推理的一般过程，属于基础题．