Question

15．在△ABC中，A＞B，有下列五个不等式：
（1）sinA＞sinB（2）cosA＜cosB（3）tanA＞tanB（4）cos2A＜cos2B（5）sin²A+sin²C＞sin²B
则其中一定成立的不等式的个数为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 （1）通过A＞B，利用正弦定理，推出sinA＞sinB．（2）由A＞B，通过余弦函数的单调性可得cosA＜cosB；（3）由A＞B通过举反例说明sin2A＞sin2B不正确即可．（4）由A＞B，通过正弦定理以及同角三角函数的基本关系式，以及二倍角的余弦函数推出cos2A＜cos2B．

解答 解：由（1），∵A＞B，则a＞b，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB．故（1）正确；
由（2），A＞B，△ABC中，A、B∈（0，π），余弦函数是减函数，所以cosA＜cosB，故（2）正确；
对于（3），由A＞B，如B为锐角，A为钝角，tanA＜tanB，可知（3）错误；
对于（4），因为在△ABC中，A＞B，所以a＞b，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB＞0，
所以sin²A＞sin²B，可得 1-2sin²A＜1-2sin²B，由二倍角公式可得：cos2A＜cos2B，故（4）正确．
对于（5），∵A＞B，则a＞b，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB．sin²A+sin²C＞sin²B，所以（5）正确．
故选：A．

点评 本题考查正弦函数的单调性，正弦定理，同角三角函数的基本关系，三角形中有大角对大边，将命题转化是解题的关键．