Question

【题目】已知双曲线：的右焦点为，半焦距，点到右准线的距离为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；定点

【解析】

（1）由题意可得的值，再由点到直线的距离为，可得的值，再由，，之间的关系求出双曲线的方程；

（2）设弦所在的直线方程，与双曲线的方程联立可得两根之和进而可得的中点的坐标，再由椭圆可得弦的中点的坐标，分别讨论当的斜率存在和不存在两种情况可得直线恒过定点.

（1）由题设可得，，所以，.

所以双曲线的标准方程为.

（2）证明：点，设过点的弦所在的直线方程为，，，

则有.

联立，可得.

因为弦与双曲线有两个交点，所以，

所以，所以.

（1）当时，点即是点，此时，直线为轴.

（2）当时，将上式点坐标中的换成，同理可得.

①当直线不垂直于轴时，

直线的斜率，

其方程，化简得，

所以直线过定点；

②当直线垂直于轴时，，此时，，直线也过定点.

综上所述，直线过定点.