Question

6．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=$\frac{PC}{PA}=\frac{CA}{AB}$．
（Ⅰ）求DE与平面BEC所成角的正弦值；
（Ⅱ）直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE，若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）DE与平面BEC所成角，也即DE与平面BCE的法向量所成角的余角，设平面BCE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z） 则根据法向量与平面内任意向量垂直，即可求出平面BCE的法向量坐标，再求平面BCE的法向量与DE所成角，最后求出该角的余角即可．
（Ⅱ）先假设直线BE上存在一点M，使得CM∥平面ADE，向量$\overrightarrow{CM}$垂直于平面ADE的法向量，再利用垂直时数量积为0来计算．如能计算出参数λ的值，则存在，否则，不存在．

解答 解：（Ⅰ）以A为坐标原点AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则E（0，0，$\sqrt{2}$），B（2，0，0），D（0，2，0），做BD的中点F并连接CF，AF；
由题意可得CF⊥BD且AF=CF=$\sqrt{2}$，
又∵平面BDA⊥平面BDC，
∴CF⊥平面BDA，
所以（λ₁，λ₂，λ₃）．的坐标为C（1，1，$\sqrt{2}$），
设平面BCE的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x-\sqrt{2}z=0}\\{x-y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{z=\sqrt{2}x}\\{y=-x}\end{array}\right.$，
令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\sqrt{2}$），又$\overrightarrow{DE}$=（0，-2，$\sqrt{2}$），
设平面DE与平面BCE所成的角为θ，则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{DE}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DE}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅱ）设存在一点M，使得CM∥平面ADE，则$\overrightarrow{EM}=λ\overrightarrow{EB}$，$\overrightarrow{EB}$=（2，0，-$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{EM}$=（2λ，0，-$\sqrt{2}λ$），得M（2λ，0，$\sqrt{2}-\sqrt{2}λ$），
又因为AE⊥平面ABD，AB⊥AD，所以：AB⊥平面ADE，
因为CM∥平面ADE，则$\overrightarrow{CM}$$⊥\overrightarrow{AB}$，即$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{AB}$=0，解得：2λ-1=0，
所以，解得：$λ=\frac{1}{2}$．
故点M为BE的中点时CM∥平面ADE．

点评 夲题考查了用空间向量求证线线垂直，线面平行，以及线面角，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．