Question

15．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面α的距离可能是：（2）（4）（5）（6）．（写出所有正确结论的编号）
（1）2； （2）3； （3）4；（4）5； （5）6； （6）7．

Answer 1

分析 先求出线段BD的中点到平面α的距离，从而能求出C点到平面α的距离；B点到平面α的距离=A₁点到平面α的距离+B点平面α；点C₁到平面α的距离=点A₁到平面α的距离+点C到平面α的距离；点D₁到平面α的距离=点A₁到平面α的距离+点D到平面α的距离．

解答 解：如图，B、D、A₁到平面α的距离分别为1、2、4，
则D、A₁的中点到平面α的距离为3，
即A、D₁的中点到平面α的距离为3
所以D₁到平面α的距离为6；
同样地，B、A₁的中点到平面α的距离为$\frac{5}{2}$，
所以B₁到平面α的距离为5；
则D、B的中点到平面α的距离为$\frac{3}{2}$，
所以C到平面α的距离为3；
C、A₁的中点到平面α的距离为$\frac{1}{2}$，
所以C₁到平面α的距离为7；
∵P为C、C₁、B₁、D₁中的一点，
∴P到平面α的距离可能是3，5，6，7．
故答案为：（2）（4）（5）（6）．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．