Question

3．已知函数 f （x） 对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=2011．
（1）求 f（$\frac{1}{2}$）的值．
（2）数列{a_n} 满足：a_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-2}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1），求数列{$\frac{{{2a}_{n}a}^{n}}{2011}$}的前n项和S_n．
（3）若T_n=$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$，证明：${T_n}＜\frac{4}{{{{2011}^2}}}$．

Answer 1

分析 （1）可令x=$\frac{1}{2}$，计算即可得到所求；
（2）令x=$\frac{1}{n}$，求得f（$\frac{1}{n}$）+f（1-$\frac{1}{n}$）=2011，再由倒序相加求和，即可得到a_n，再讨论a=1，a≠1，由错位相减法，即可得到所求；
（3）由$\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，运用裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）由于函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=2011，
令$x=\frac{1}{2}$得：$f（\frac{1}{2}）+f（1-\frac{1}{2}）=f（\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{2}）=2011$，
所以$f（\frac{1}{2}）=\frac{2011}{2}$；
（2）令$x=\frac{1}{n}$，则$f（\frac{1}{n}）+f（1-\frac{1}{n}）=f（\frac{1}{n}）+f（\frac{n-1}{n}）=2011$.${a_n}=f（0）+f（\frac{1}{n}）+f（\frac{2}{n}）+…+f（\frac{n-2}{n}）+f（\frac{n-1}{n}）+f（1）$①
又${a_n}=f（1）+f（\frac{n-1}{n}）+f（\frac{n-2}{n}）+…+f（\frac{2}{n}）+f（\frac{1}{n}）+f（0）$②
两式相加得：$2{a_n}=[f（0）+f（1）]+[f（\frac{1}{n}）+f（\frac{n-1}{n}）]+[f（\frac{2}{n}）+f（\frac{n-2}{n}）]+…+[f（1）+f（0）]=2011（n+1）$，
即有${a_n}=\frac{2011（n+1）}{2}$．
∴$\frac{{2{a_n}{a^n}}}{2011}$=（n+1）aⁿ，
当a=1时，和S_n．=2+3+…+n+1=$\frac{1}{2}$n（n+3）；
当a≠1时，和S_n=2a+3a²+..+（n+1）aⁿ，③
aS_n=2a²+3a³+..+（n+1）aⁿ⁺¹，④
③-④可得，（1-a）S_n=2a+a²+..+aⁿ-（n+1）aⁿ⁺¹
=a+$\frac{a（1-{a}^{n}）}{1-a}$-（n+1）aⁿ⁺¹，
化简可得$\frac{a}{1-a}$+$\frac{a（1-{a}^{n}）}{（1-a）^{2}}$-$\frac{（n+1）•{a}^{n+1}}{1-a}$．
则${S_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{n（n+3）}{2}（a=1）\\ \frac{a}{1-a}+\frac{{a（1-{a^n}）}}{{{{（1-a）}^2}}}-\frac{{（n+1）{a^{n+1}}}}{1-a}（a≠1）\end{array}\right.$；
（3）证明：∵$\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{{a_n}^2}}=\frac{4}{{{{2011}^2}}}•\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜\frac{4}{{{{2011}^2}}}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
即有T_n=$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$＜$\frac{4}{201{1}^{2}}$[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]
=$\frac{4}{201{1}^{2}}$•（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{4}{201{1}^{2}}$．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查数列的求和方法：倒序相加和错位相减法、裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．