Question

20．如图，某公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．
（Ⅰ）设AD=x，DE=y，求y关于x的函数关系式；
（Ⅱ）如果DE是灌溉水管，我们希望它最短，则DE的位置应在哪里？请予以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ADE中，由余弦定理可得x，y，AE之间的关系，然后由S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，结合面积公式可求x与AE的关系，从而可求；
（Ⅱ）由题意可得y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}-2}$，利用基本不等式可求函数的最小值．

解答 解：（Ⅰ）在△ADE中，y²=x²+AE²-2x•AE•cos60°⇒y²=x²+AE²-x•AE，①，
又S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$x•AE•sin60°②
∴AE=$\frac{2}{x}$≤2
∴x≥1，
②代入①得y²=x²+（$\frac{2}{x}$）²-2（y＞0）），
∴y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}-2}$（1≤x≤2），
（Ⅱ）如果DE是水管y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}-2}$≥$\sqrt{2•2-2}$=$\sqrt{2}$，
当且仅当x²=$\frac{4}{{x}^{2}}$，即x=$\sqrt{2}$时“=”成立，
故DE∥BC且AD=$\sqrt{2}$时水管的长度最短．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，及基本不等式在函数的最值求解中的应用，计算虽然简单，但是考查的内容具有较强的综合性．