Question

5．设x，y∈R，则（x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$）（$\frac{1}{{x}^{2}}$+4y²）的最小值为9．

Answer 1

分析 化简（x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$）（$\frac{1}{{x}^{2}}$+4y²））=5+$\frac{1}{{x}^{2}{y}^{2}}$+4x²y²，并由基本不等式即可得出最小值．

解答 解：（x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$）（$\frac{1}{{x}^{2}}$+4y²）=5+$\frac{1}{{x}^{2}{y}^{2}}$+4x²y²
≥5+2$\sqrt{4{x}^{2}{y}^{2}•\frac{1}{{x}^{2}{y}^{2}}}$=5+4=9．
当且仅当$\frac{1}{{x}^{2}{y}^{2}}$=4x²y²
即xy=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，取得最小值，且为9．
故答案为：9．

点评 本题考查了基本不等式的运用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等，属于基础题．