Question

5．求函数y=$\sqrt{2co{s}^{2}x+5sinx-1}$的值域．

Answer 1

分析 将函数化为$\sqrt{1+5sinx-2si{n}^{2}x}$令sinx=t，则y=$\sqrt{1+5t-2{t}^{2}}$，由二次函数的值域求法，即可得到所求值域．

解答 解：函数y=$\sqrt{2co{s}^{2}x+5sinx-1}$
=$\sqrt{1+5sinx-2si{n}^{2}x}$
令sinx=t，则y=$\sqrt{1+5t-2{t}^{2}}$
=$\sqrt{-2（t-\frac{5}{4}）^{2}+\frac{33}{8}}$，
由于1+5t-2t²≥0，
解得$\frac{5-\sqrt{33}}{4}$≤t≤$\frac{5+\sqrt{33}}{4}$，
可得t∈[$\frac{5-\sqrt{33}}{4}$，1]，
则t=1时，取得最大值，且为2，
t=$\frac{5-\sqrt{33}}{4}$时，取得最小值0．
故值域为[0，2]．

点评 本题考查可化为二次函数的值域的求法，注意换元法和正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．